O
empréstimo para o fazendeiro
O fazendeiro
pegou um empréstimo e agora precisa saber quantos animais ele pode comprar
seguindo as restrições do gerente.
Um fazendeiro
foi ao encontro de seu gerente de banco pedir um empréstimo para comprar
animais. O gerente fez um acordo com ele. Ele disse que emprestaria R$ 100,00 e
que o fazendeiro não precisaria devolver o dinheiro ao banco caso conseguisse
comprar exatamente 100 cabeças (animais) com os R$ 100,00.
A única regra do
acordo era que o fazendeiro comprasse pelo menos um animal de cada um desses
tipos: bois, porcos e ovelhas. Cada boi custa R$ 10,00. Cada porco custa R$
3,00 e as ovelhas custam, cada uma, R$ 0,50.
Quantos animais
de cada tipo o fazendeiro comprou?
Seja b o número de bois, p o número de porcos e v o número de ovelhas.
ResponderExcluirTemos então duas fórmulas:
[1] b + p + v = 100 (número de cabeças)
[2] 10b + 3p + 1/2v = 100 (custo total)
Resolvamos ambas as equações em ordem a v
[1]
b + p + v = 100
v = 100 - b - p
[2]
10b + 3p + 1/2v = 100
20b + 6p + v = 200
v = 200 - 20b - 6p
Igualemos [1] e [2]
200 - 20b - 6p = 100 - b - p
200 - 100 = 20b + 6p - b - p
100 = 19b + 5p
Analisemos. Torna-se evidente que b tem de ser, no máximo 5. Se fosse maior do que esse valor, p seria negativo e tal iria contra as premissas do problema. Também percebemos que b só pode ser 5, pois qualquer outro valor, quando multiplicado por 19, implicaria que p fosse uma fracção - e isso, de novo, iria contra as premissas do problema.
Portanto:
b = 5
100 = 19b + 5p = 95 + 5p
5 = 5p
p = 1
Temos já o número de bois (5) e o número de porcos (1). Substituindo ambos na equação [1]:
v = 100 - b - p = 100 - 5 - 1 = 94
Conclusão: 5 bois, 1 porco e 94 ovelhas.
Perfeito!
ResponderExcluirAdmita "b" como sendo o número de bois comprados, "p" com sendo o número de porcos comprados, e "v" como sendo o número de ovelhas compradas. Sabemos que o número total de animais comprados é 100. Além disso, sabemos também que o valor total da compra será de 100 reais. Portanto, temos duas equações:
b + p + v = 100 (I)
10b + 3p + 0.5v = 100 (II)
Multiplicando a equação II por 2, temos:
20b + 6p + v = 200
Se subtrairmos a equação I da equação acima, eliminaremos "v" e teremos a seguinte equação:
19b + 5p = 100
Reescrevendo:
100 – 19b = 5p
Uma vez que "b" e "p" são números inteiros não-negativos, nós podemos definir as possíveis soluções rapidamente. Sabemos que "b" não pode ser maior ou igual a 6, porque "p", nesse caso, seria negativo. Com isso, podemos somente considerar 1, 2, 3, 4 e 5 como valores possíveis de "b". Substituir 1, 2, 3 ou 4 em "b", entretanto, torna o lado esquerdo da equação não-divisível por 5, o que faria com que "p" fosse um número não-inteiro. Logo, "b" deve ser 5. Substituindo "b" na equação acima, temos:
100 – 19b = 5p
100 - 95 = 5p
5 = 5p
p = 1
Agora, podemos substituir os valores de "b" e "p" em uma das equações originais (substituir na equação I torna a resolução mais fácil), e achar "v":
b + p + v = 100
5 + 1 + v = 100
6 + v = 100
v = 100 - 6
v = 94
Portanto, o fazendeiro comprou 5 bois (R$ 50,00), 1 porco (R$ 3,00) e 94 ovelhas (R$ 47,00).